MSDC模块化分级讲义体系 小学奥数.应用题.和倍与差倍问题（A级）.教师版 Page PAGE * Arabic 12 of NUMPAGES * Arabic 12和倍差倍问题和倍差倍问题该知识点不会单独出题，但是思路很重要；该知识点是典型应用题的基础，是必考内容。一、基本运算律及公式1、和倍问题和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作 倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数 或 和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数：1份数×(倍数－1)=两数差.解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。2、差倍问题差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－ 1)=1 倍数(较小数) 倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系． 年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。重点：1、最基本的应用题，但是应用很广；2、如何画线段图，找等量关系；难点：1、画图和找等量关系；2、找到解题的思路和捷径。购物圣诞节那一天，我与妈妈到百货大楼去买东西。正巧，大楼正在举办返券销售活动，只见标牌上清清楚楚地写着：购买服装类每付现金100元，返回礼券80元；鞋类每付100元，返回礼券60元；用具类每付100元，返回礼券40元；所付现金不足100元部分不返券，所返的礼券可在返券销售活动期间在商场内购买任何商品。我与妈妈转来转去，最后，我看中了一双320元的运动鞋，妈妈看中了一套498元的衣服；而我们还要买一套245元的炊具。这时，妈妈对我说：“你不是老说你的数学学得很好吗？耳听为虚，眼见为实，今天，妈妈就来考考你。我们把这三样东西全买下来，怎样买才能最省钱呢？”呵，这可难不倒我：“衣服最贵，得的券又最多，当然先用钱买衣服了，这样就可以得到320元的礼券，用这礼券可以买好我的运动鞋，然后再拿出245元买炊具，还能得80元礼券。而用这礼券还能买一些小装饰品呢！一共用现金743元。”我得意得看看妈妈。妈妈摇了摇头说“你这样不是浪费了80元的礼券吗？”我睁大眼睛：“难道还有更省钱的？”“当然了！”妈妈说。我拿出笔和纸算了起来，一会儿，我又设计出了另一种方案，我急着告诉妈妈：“先买鞋，可得到礼券180元，用这些礼券买衣服，需要补付318元，又得到礼券240元，最后买炊具，将礼券用完再补付5元，这样共付现金643元。比刚才的方案足足又省了100元。”妈妈看着我笑了。我们既花了最少的钱，又满足了自己的心愿。同学们，通过这个故事你明白了什么道理？模块一：分组凑整（）光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？ 【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）.所以，女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）男生人数：200×3-40=560（人）或 760-200=560（人）【答案】200人，560 人（）小强和小明共有50本练习本，小强的练习本比小明的2倍多2本．小强和小明各有几本练习本?【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答【分析】(50－2)÷(1＋2) ＝48÷3＝16(本)…………………………小明16×2＋2＝34（本）或50－16＝34（本）…………………小强【答案】6本，34本（）商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克?【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答我们可以把苹果的重量看作1份，如下图：如果橘子重量增加3千克，正好是苹果重量的3倍，香蕉的重量减少2千克，正好是苹果重量的2倍，这时三种水果的总重量变为：53＋3－2＝54(千克)，正好是苹果重量的(1＋3＋2)倍，苹果有 (53＋3－2)÷(1＋3＋2) ＝54÷6＝9(千克)，橘子有9×3－3＝24(千克) .【答案】24千克（）果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答【解析】下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍. 所以：梨树的棵数：（552＋20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵）；桃树的棵数：140×2＋12=292（棵）；苹果树的棵数： 140-20=120（棵）【答案】40棵，292棵，120棵（） 智康学校有图书108本，学而思学校有图书140本，要使智康学校图书是学而思学校的3倍．必须从学而思学校拿出多少本放入基础班?【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答由于要求智康学校图书为学而思学校的3倍，如果将学而思学校的应有图书量看做一倍量，那么智康和学而思存量的总和相当于学而思应有图书量的(1＋3)倍量，从而可求出学而思应有图书量．再来具体看问题“必须从学而思拿出多少本放入智康”，很明显用学而思原来的有图书量减去应有图书量，便可以解答了．智康、学而思图书的总和108＋140＝248(本)，学而思应有图书量：248÷ (1＋3)＝62(本)，学而思拿出图书数量： 140－62＝78(本)．【答案】78本（）大红有贺卡54张，小琴有贺卡70张，大红给小琴几张卡片后，小琴的卡片张数就是大红的3倍?【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答现在大红和小琴共有贺卡(54+70)张，大红拿出几张贺卡给小琴后，他们的贺卡总数还是(54+70)张.根据例1的解题思路，可求出当小琴的贺卡张数是大红的3倍时，大红有多少张贺卡.比大红原来的54张少了几张，就是大红给小琴的张数.大红、小琴共有贺卡多少张?54+70=124(张) 小琴贺卡的张数是大红的3倍时大红有多少张?124÷(3+1)=31(张) 大红给了小琴多少张?54-31=23(张)【答案】23张（）甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答① 甲、乙两水池共有水：2600＋1200=3800（立方米）② 甲水池剩下的水：3800÷（4+1）=760（立方米）③甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米）④经过的时间（分钟）：1840÷23＝80（分钟）【答案】80分钟（）喜洋洋有69块棒棒糖，美洋洋有31块棒棒糖，如果喜洋洋每天给美洋洋4块，多少天之后美洋洋的棒棒糖数目是喜洋洋的3倍？【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答①两羊共有棒棒糖：69+31=100（块）②喜洋洋剩下的糖：100÷（3+1）＝25（块）③喜洋洋给美洋洋的糖：69－25＝44（块）④经过的天数：44÷4＝11（天）【答案】11天（）被除数、除数、商3个数的和是212。已知商是2，被除数和除数各是多少？．【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍。把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：210÷（2+1）=70；被除数为：70×2=140。【答案】被除数140，除数70（139-3）÷（1+3）=34（）被除数，除数，商三个数的和是139，已知商是3，求被除数和除数是多少？【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答（139-3）÷（1+3）=34【答案】34模块二、差倍问题（）学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱，学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱．【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答这不是一道典型的“差倍问题”，但我们可以通过适当的变形，将其作为一个典型的“差倍问题”来解决．见上图，由于白笔比彩笔的4倍多3箱，故把彩笔看做1倍数，(白笔－3)就相当于彩笔的4倍，即彩笔比(白笔－3)少3倍，注意此时白笔比彩笔多15－3＝12箱．彩色粉笔的箱数12÷3＝4(箱)，(4)白色粉笔的箱数：4＋15＝19(箱)．【答案】白粉笔19箱，彩粉笔4箱（）学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍少3箱，学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答把彩笔看做1倍数，(白笔＋3)就相当于彩笔的4倍，即彩笔比(白笔＋3)少3倍，注意此时白笔比彩笔多15＋3＝18箱．彩色粉笔的箱数18÷3＝6(箱)，白色粉笔的箱数：6＋15＝21(箱)．【答案】21箱（）有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？． 【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答如上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。① 第一根截去12米剩下的长度：（12+14）÷（3-1）＝13（米）② 两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）答：两根绳子原来各长25米。【答案】25米（）三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又买来新书74本，三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书74本，即增加了74本；三（2）班从本班原有图书中取出96本送给一年级同学，则图书减少了96本.结果是一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差96+74＝170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本图书.又知三（1）班现有图书是三（2）班图书的3倍，可见这170本图书就相当于三（2）班所剩图书的3-1=2倍，三（2）班所剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求出来了（见上图）。① 后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？74＋96=170（本）② 三（2）班剩下的图书是多少本？170÷（3-1）=85（本）③ 三（2）班原有图书多少本？85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）综合算式：（74＋96）÷（3-1）＋96＝170÷2+96＝85＋96=181（本）验算：181+74=255（本） 181-96=85（本） 255÷85=3（倍）答：两班原来各有图书181本。【答案】181本（）食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面粉的3倍？． 【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天，面粉和大米的数量差都不变，仍然是：138-94=44（千克）。我们把几天后剩下的面粉重量看作1份，大米重量也就是3份，则几天后剩下面粉：44÷（3-1）=22（千克）。用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得出所求的天数：（94-22）÷9=8（天）。【答案】16个（）水果店运来的西瓜172千克，白兰瓜88千克．如果每天卖白兰瓜和西瓜各9千克，几天后水果店剩下的西瓜是白兰瓜的13倍？【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答172-88=84（千克）,84÷（13-1）=7（千克）,88-7=81（千克）,81÷9=（天）。【答案】9天（）小明和小刚各有玻璃弹球若干个.小明对小刚说：“我若给你两个，我们的玻璃弹球一样多.”小刚说：“我若给你两个，你的弹球数量将是我的3倍.”小明和小刚共有玻璃弹球多少个？． 【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答由小明说的话推知，小明的玻璃球比小刚多4个，如果小刚给小明2个，那么小明比小刚多8个.8个是小刚还剩下玻璃球数量的3-1＝2倍，此时小刚有玻璃球8÷2＝4（个），小明有玻璃球4+8＝12（个），两人共有玻璃球4+12＝16（个）【答案】16个（）小青和小红每人都有一些水彩笔，如果小青给小红1支，两人就一样多，如果小红给小青1支，小青的水彩笔就是小红的2倍，那么小青和小红各有多少支水彩笔？【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答 “小青给小红1支，两人就一样多”说明小青原来比小红多1+1=2（支），“如果小红给小青1支，小青的水彩笔就是小红的2倍”则小红给小青1支后，小青就比小红多2+1+1=4（支），这与倍数差2-1=1倍相对应，这样就可以求到小红的水彩笔现在是4÷1=4（支），她原来就是4+1=5（支），小青原来是：5+2=7（支）. 【答案】小青7支，小红5支（）小丸子家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只，白鸡的只数是黄鸡2倍，白鸡、黄鸡、黑鸡一共多少只？【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答为明了题意，画线段图：以黄鸡的只数为标准，白鸡的只数是黄鸡的2倍，所以黄鸡：18÷（2－1）＝18（只），白鸡：18×2＝36（只），黑鸡：18－13＝5（只），三种鸡共有：18+36+5＝59（只）【答案】59只（）妈妈的年龄是小红的5倍，奶奶的年龄比小红大9倍，已知奶奶比妈妈大35岁，求三人年龄各多少岁？【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答奶奶的年龄比小红大9倍，妈妈的年龄是小红的5倍，那么，妈妈的年龄比小红大（5-1）倍，奶奶的年龄比妈妈大（9-4）倍，把小红的年龄看作一倍数，则小红的年龄为：35÷（9-4）=7（岁），妈妈的年龄是：7×5=35（岁），奶奶的年龄是：35+35=70（岁）【答案】7岁，35岁，70岁甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答（30＋120）÷（2+1）=50（本）50-30=20（本）【答案】20甲乙丙三个数的和是359，已知甲是乙的3倍多8，乙是丙的2倍少9，求甲乙丙三个数各是多少?【考点】等差数列应用题 【难度】 【题型】解答把丙看作一倍数，乙是丙的2倍少9，而甲就是丙的2×3＝6倍少（3×9－8），与和相寸应的倍数和就是1＋2＋6＝9倍，由此可分别求出三个数．359－8＋4×9）÷