文章目录前言

本笔记不涉及基础知识，重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多，不定时更新。且为了提高效率，用表线性梳理的形式代替思维导图，望谅解。

如有缺漏错误，欢迎补充指正！

这一章的特点是出题点较多且杂，其实考察的知识就是大纲上的那些。或者说出题的角度灵活比较合适。 除了掌握大纲中的要求，还要多做练习题找到题中经常出现的坑，大都是对定义的精确考察，我把遇到的都记录在这里。

(一)一元函数微分学基础

这一部分只会讨论什么是导数与微分，以及它们的计算。也是一元函数微分学最基础的部分。

1）讨论导数与微分的概念

给出函数判断导数是否存在：

给出函数及其性质判断其它函数的可导性：

给出函数及性质求待定参数

利用导数定义及题中条件即可。

2）导数与微分的计算

可能出现的导数形式：

基本初等函数的导数及其复合（公式记牢）变限积分（求导公式、变量代换）隐函数求导（直接求导）反函数求导（ d x d y = 1 d y d x frac{dx}{dy} = frac{1}{frac{dy}{dx}} dydx​=dxdy​1​,注意对谁求导，链式法则）参数式函数求导（链式法则）求解高阶导数（链式法则）求函数的n阶导数（泰勒公式、常用n阶导数公式、级数 ）(二)导数的应用

当充分理解什么是导数后，我们重新回到函数部分，思考导数在函数的计算和性质中可以有什么应用。 所以标题为导数的应用，也可以称为函数的性质。

导数在大纲中有以下应用： 极值、最值、单调性、凹凸性、拐点、驻点、渐进线、曲率、曲率半径、曲率圆、画出函数草图。

其中，拐点与驻点是通过导数定义的属性。

极值、单调性、凹凸性、曲率、曲率半径、曲率圆是本来有自己的定义，但通常需要用导数来计算和确定的属性。

最值和渐近线是间接和导数有关系的属性。

1）通过导数定义的属性2）通过导数计算的属性3）与导数间接相关的属性4）函数的应用题（多为最值问题）

若实际问题必定有最值，且由问题建立的表达式只有一个驻点，那么该驻点便是极值点。该类应用题常于解析几何或位置参数的函数联系，需要建立目标函数或讨论参数。

(三)中值定理

这一部分是一元函数微分学的难点。

导数是刻画函数在一点处变化里的概念，它反映的是函数在一点邻近的局部变化性态。

但在理论研究和实际应用中，常常需要知道函数在某一区间上的整体变化情况和它在区间内某些点处的局部变化性态之间的关系。

有关中值定理的题型解题方法可能是不唯一的，可以用拉格朗日中值解，说不定也可以用罗尔定理解。

关于函数某一区间变化情况或某些点处的局部变化性态问题求解方式有以下几种：

利用导数讨论单调性最值存在极值定理结合费马定理介值定理积分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日余项泰勒公式柯西中值定理

以及几种解题技巧：

积分法微分方程法函数与导数存在零点个数的关系

下面我们根据问题的提问方式具体分析，中值定理的题型大概可分为以下几类：

1）不等式问题

这类问题放在第一类，是因为不等式问题求解方式众多。比如我们以前提到的利用条件极值解不等式问题，在这一章还可以利用导数用单调性解不等式问题，以及各种中值定理和泰勒公式求解。

a. 具体函数不等式问题b. 抽象函数不等式问题2）零点问题a. 可导具体函数的零点问题b. 证明存在 f ( ξ ) = 0 f(ξ)=0 f(ξ)=0的零点问题c. 证明存在 f ′ ( ξ ） = 0 f^{‘}(ξ）=0 f′(ξ）=0的零点问题d. 双中值问题e. 复合函数 ψ ( x , f ( x ) , f ′ ( x ) ) ψ(x,f(x),f^{‘}(x)) ψ(x,f(x),f′(x))的零点

这类题型的特点是题目要求的证明涉及 x , f ( x ) x,f(x) x,f(x),和 f ′ ( x ) f^{‘}(x) f′(x)。比如根据题目条件证明： ( 1 + ξ ) f ′ ( ξ ) − f ( ξ ) = 0 (1+ξ)f^{‘}(ξ)-f(ξ)=0 (1+ξ)f′(ξ)−f(ξ)=0

f. 复合函数 ψ ( x , f ( x ) , f ′ ( x ) , f ′ ′ ( x ) ) ψ(x,f(x),f^{‘}(x),f^{”}(x)) ψ(x,f(x),f′(x),f′′(x))的零点g. 存在某ξ满足某不等式3) 多说一句

涉及中值定理和不等式的问题灵活多样，列举这些不同的题型只是在做题的时候能更快找到思路。还有很多不在上述列举中的题目，这时就需要结合中值定理发挥想象力，求解出来。这也是为什么不等式和中值定理是难点和重点。