第9页（共31页）2024年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（4分）的绝对值是A．5 B． C． D．2．（4分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是A． B． C． D．3．（4分）下列计算正确的是A． B． C． D．4．（4分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是A． B． C． D．5．（4分）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是A．53 B．55 C．58 D．646．（4分）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是A． B． C． D．7．（4分）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买进，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买进石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为A． B． C． D．8．（4分）在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是A． B． C． D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）若，为实数，且，则的值为．10．（4分）分式方程的解是．11．（4分）如图，在扇形中，，，则的长为12．（4分）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为．13．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）计算：；（2）解不等式组：．15．（8分）2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．游园线路人数国风古韵观赏线44世界公园打卡线亲子互动慢游线48园艺小清新线根据图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的员工共有人，表中的值为；（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；（3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数．16．（8分）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，17．（10分）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．（1）求证；；（2）若，，，求的长和的直径．18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上．（1）求，，的值；（2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值；（3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）如图，，若，，则的度数为．20．（4分）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为．21．（4分）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有，一种取法，即；当时，有，和，两种取法，即；当时，可得；．若，则的值为；若，则的值为．22．（4分）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则．23．（4分）在平面直角坐标系中，，，，，，是二次函数图象上三点．若，，则（填“”或“”；若对于，，，存在，则的取值范围是．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价10元，种水果收购单价15元．（1）求，两种水果各购进多少千克；（2）已知种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求种水果的最低销售单价．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．（1）求线段的长；（2）当时，若的面积与的面积相等，求的值；（3）延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．26．（12分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．【初步感知】（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．

2024年四川省成都市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（4分）的绝对值是A．5 B． C． D．【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得．故选：．2．（4分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是A． B． C． D．【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：．3．（4分）下列计算正确的是A． B． C． D．【解答】解：．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；．，不是同类项，不能合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；．，此选项的计算正确，故此选项符合题意；故选：．4．（4分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是A． B． C． D．【解答】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．故选：．5．（4分）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是A．53 B．55 C．58 D．64【解答】解：把这组数据从小到大排序后为50，51，55，55，61，64，所以这组数据的中位数为．故选：．6．（4分）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是A． B． C． D．【解答】解：四边形是矩形，，，，，，，不一定成立，，一定成立，一定不成立，故选：．7．（4分）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买进，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买进石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为A． B． C． D．【解答】解：每人出钱，会多出4钱，；每人出钱，会差3钱，．根据题意可列方程组．故选：．8．（4分）在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是A． B． C． D．【解答】解：由作法得平分，，所以选项不符合题意；四边形为平行四边形，，，，，，，，，，，所以选项不符合题意；，，，，，所以选项不符合题意；，，所以选项符合题意．故选：．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）若，为实数，且，则的值为1．【解答】解：，为实数，且，，，解得，，．故答案为：1．10．（4分）分式方程的解是．【解答】解：去分母得：，去括号得：，解得：，经检验是分式方程的解．故答案为：．11．（4分）如图，在扇形中，，，则的长为【解答】解：的长为．故答案为：．12．（4分）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为．【解答】解：盒中有枚黑棋和枚白棋，共有个棋，从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，可得关系式，，即，．故答案为：．13．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为5．【解答】解：取点，连接，，如图，，过点作轴的垂线，点与点关于直线对称，，，即的最小值为的长，在中，，，由勾股定理，得，的最小值为5．故答案为：5．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）计算：；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）原式；（2）解不等式①，得，解不等式②，得，所以不等式组的解集是．15．（8分）2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．游园线路人数国风古韵观赏线44世界公园打卡线亲子互动慢游线48园艺小清新线根据图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的员工共有160人，表中的值为；（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；（3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数．【解答】解：（1）本次调查的员工共有（人，表中的值为；故答案为：160，40；（2），答：在扇形统计图中，“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为；（3）（人，答：估计选择“园艺小清新线”的员工人数为385人．16．（8分）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，【解答】解：在中，尺，，，，（尺；在中，尺，，，，（尺；（尺，观察可知，春分和秋分时日影顶端为的中点，（尺，春分和秋分时日影长度为9.2尺．17．（10分）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．（1）求证；；（2）若，，，求的长和的直径．【解答】（1）证明：是的直径，，，，，，，，；（2）解：连接，过作于，如图：，，，，，，即，，，，，，，，，，由（1）知，，，即，，，，，，，，即，，是的直径，，，，，即，，，的直径为．答：的长为，的直径为．18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上．（1）求，，的值；（2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值；（3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值．【解答】解：（1）把代入得：，，把代入得：，；直线为，把代入得：，，的值为4，的值为6，的值为6；（2）设，由（1）知，，而，①当，为对角线时，，的中点重合，，解得，经检验，，符合题意，此时点的坐标为；②当，为对角线时，，的中点重合，，解得，经检验，，符合题意，此时点的坐标为；③当，为对角线时，，的中点重合，，解得，，这种情况不符合题意；综上所述，的坐标为或，的值为；（3）如图：设直线解析式为，把代入得：，，直线解析式为，在中，令得，，，与点关于轴对称，，，，，，与相似，只能在左侧，，故与相似，只需即可，即，，，，，解得，经检验，满足题意，直线的解析式为，有且只有一点，使得与相似，直线与反比例函数图象只有一个交点，只有一个解，即有两个相等实数根，，即，解得，的值为．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）如图，，若，，则的度数为．【解答】解：，，，，故答案为：．20．（4分）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为7．【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，，，，，．故答案为：7．21．（4分）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有，一种取法，即；当时，有，和，两种取法，即；当时，可得；．若，则的值为9；若，则的值为．【解答】解：当时，从1，2，3，4，5，6中，取两个数的和大于6，这两个数分别是，，，，，，，，，，，，，，，，，，；当时，从1，2，，23，24中，取两个数的和大于24，这两个数分别是：，，，，，，，，，，，，，，．，，，，，，，，；故答案为：9，144．22．（4分）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则．【解答】解：连接，过作于，如图：设，则，，为中点，，，，，，，，，，，，，平分，，，，，，，，，，为中点，，，，，，解得或（小于0，舍去），．故答案为：．23．（4分）在平面直角坐标系中，，，，，，是二次函数图象上三点．若，，则（填“”或“”；若对于，，，存在，则的取值范围是．【解答】解：，二次函数图象的对称轴为直线，开口向下，，，，即，比，离对称轴直线的水平距离近，；，，，，对于，，，存在，，，且，离对称轴最远，，离对称轴最近，，，且，，，，且，解得，故答案为：，．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价10元，种水果收购单价15元．（1）求，两种水果各购进多少千克；（2）已知种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求种水果的最低销售单价．【解答】解：（1）设种水果购进千克，种水果购进千克，根据题意得：，解得：．答：种水果购进1000千克，种水果购进500千克；（2）设种水果的销售单价为元千克，根据题意得：，解得：，的最小值为12.5．答：种水果的最低销售单价为12.5元千克．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．（1）求线段的长；（2）当时，若的面积与的面积相等，求的值；（3）延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）在中，令得，，，或，，，；（2）当时，过作轴交轴于，轴交于，如图：，，由，得直线解析式为，设，，在中，令得，，，，；的面积与的面积相等，而，，解得（舍去）或，，，，，；的值为；（3）抛物线与交于定点，理由如下：过作轴于，如图：设，则，，，，将沿方向平移得到，相当于将向右平移个单位，再向上平移个单位，又，，，，设抛物线解析式为，点，都落在抛物线上，解得：，抛物线解析式为，由得：，解得：，抛物线与交于定点．26．（12分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．【初步感知】（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．【解答】解：（1），，，，，，即，，，，，，；（2）连接，延长交于点，连接交于，延长交于，如图：同（1）得，，是中线，，，，，即，，，，又，，，四边形是平行四边形，四边形矩形，，，，，，，是的中位线，，设，则，，，，，，，，，解得：，，，，，，，，，；（3），，三点能构成直角三角形，理由如下：①当在上时，，此时是直角三角形，如图，；②当在的延长线上时，，此时是直角三角形，如图，；③当时，是直角三角形，过点作于点，如图，，，，四边形是矩形，，，，，，，；④当时，是直角三角形，过点作于点，交于点，如图，，，，，，，是的中位线，，，，，，，，，，，，解得，，，，．综上所述，直角三角形的面积为4或16或12或．