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2024学年第二学期九年级质量调研

数学样卷

（时间100分钟，满分150分）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题；

2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；

3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．下列式子中，属于最简二次根式的是（???）．

A． B． C． D．

2．下列关于的方程一定有实数解的是（???）．

A． B．

C． D．（为常数）

3．已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是（???）．

A． B． C． D．

4．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（???）

5．某校在“阅读之星”的评选活动中，5位评委给小王同学的综合表现打分，分别是：、、、、．如果每位评委的打分都提高，那么比较前后两组数据，统计量一定不会发生改变的是（???）．

A．中位数 B．众数 C．方差 D．平均数

6．如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（???）．

A． B． C．或 D．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】

7．的倒数是.

8．因式分解：．

9．不等式组的解集是．

10．方程的解为．

11．已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是．

12．如果一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是．

13．已知一个多边形的外角和与内角和的比为，则这个多边形的边数为

14．十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取张，那么乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是．

15．为了解学生的体育技能水平，某校随机抽取了名学生开展一分钟跳绳测试，并将结果绘制成扇形统计图（如图所示）．如果该校学生共有人，请估计全校一分钟跳绳次数不低于180个的学生有人．

类别

跳绳次数

16．某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如表所示．如果将这个二次函数的图像向右平移个单位后，图像经过原点，那么的值是．

17．点是的重心，，，那么（用、表示）．

18．如图，在正方形纸片中，点是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，与交于点，那么的值是．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．计算：．

20．已知分式方程．甲同学的解答过程如下：

解：（第①步）去分母，得：，

（第②步）解这个整式方程，得：，

（第③步）检验：当时，，

（第④步）所以，原方程的根是．

(1)甲同学的解答过程是从第步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______

(2)请写出正确且完整的解答过程．

21．如图，已知是半圆的直径，半径垂直于弦，垂足为点，联结，．

(1)求的度数；

(2)求的值．

22．已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）．

【初步感知】

（1）如图1，请直接写出的度数；

【实践探究】

（2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论；

【拓展延伸】

（3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明）

23．如图，平行四边形中，已知，是边的中点，连接．，垂足在边上，连接并延长，交延长线于点．

(1)求证：；

(2)求证：．

24．在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点．

(1)求线段的长；

(2)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后得到抛物线，抛物线的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线的表达式；

(3)当四边形的面积为时，若点是轴上一点（点不与点重合），且与相似，求点的坐标．

25．为的内接等腰三角形，．连接并延长，交于点，交于点，过点作，垂足为点（点不与点重合）．

(1)如图1，如果，求的大小；

(2)如图2，连接，如果，，求关于的函数解析式（不用写自变量的取值范围）；

(3)如果点是线段的黄金分割点，求的值．

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1．B

【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．

根据最简二次根式的定义对选项逐一判断即可．

【详解】解：A.，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；

B.该选项是最简二次根式，故符合题意；

C.，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；

D.，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；

故选：B．

2．D

【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解，分别计算四个方程的判别式，然后根据的意义进行判断即可．

【详解】解：A、∵，

∴，

∴方程没有实数根，不符合题意；

B、∵，

∴，

∴方程没有实数根，不符合题意；

C、当，即时，方程没有实数根，不符合题意；

D、∵，

∴方程有两个不相等的实数根，符合题意，

故选：D．

3．A

【分析】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键．

根据正比例函数的性质，可得，即可求解．

【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限，

∴，

解得：，

故选：A．

4．D

【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，即一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，则这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可．

【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意；

故选：D．

5．C

【分析】本题主要考查方差，中位数，众数，平均数，解题的关键是掌握方差的意义．

根据方差的意义求解即可．

【详解】解：根据题意可知，

每位评委的打分都提高，那么这组数据分别为、、、、，

那么平均数随之发生变化提高了；众数由原来的变成了；中位数由原来的变成了；根据方差公式或方差的意义可知，只有方差不会发生改变．

故选：C．

6．C

【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，两个圆的半径差的绝对值小于圆心距离，那么这两个圆内含，据此分内含于和内含于两种情况，讨论求解即可．

【详解】解：当内含于时，则，

∴，

∴；

当内含于时，则，

∴，

∴；

综上所述，或，

故选：C．

7．4．

【分析】根据倒数的定义即可求解．

【详解】的倒数是4．

故答案是：4．

【点睛】考查了倒数，关键是熟悉乘积是1的两数互为倒数．

8．

【分析】本题考查因式分解??运用公式法，用平方差公式因式分解即可．熟练掌握平方差公式是解题的关键．

【详解】解：，

故答案为：．

9．

【分析】此题考查了解一元一次不等式组．先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定公共部分即可得答案．

【详解】解：，

解不等式得：，

解不等式得：，

∴原不等式组的解集为：．

故答案为：．

10．3

【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可．

【详解】解：两边平方得：2x+3＝x2

∴x2﹣2x﹣3＝0，

解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，

检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，

当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．

故答案为3．

【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则

11．

【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得．

【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大，

∴，

解得，

故答案为：．

12．

【分析】本题考查两直线相交或平行问题，根据两条直线平行，则k值相等，可设这个一次函数的解析式是，再根据一次函数的图象经过点，求得．

【详解】解：设直线解析式是，

∵它与直线平行，

∴，

∵一次函数的图象经过点，

∴，

∴这个一次函数的解析式是．

故答案为：．

13．6

【分析】本题考查了多边形内角与外角，理解多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化是解题的关键．根据多边形的外角和为360°，由内角和和外角和的比，即可得到多边形的内角和，根据公式求出多边形的边数即可．

【详解】解：∵多边形的外角和为，外角和：内角和=，

∴多边形的内角和为，

设多边形的边数为n，

∴，

∴，

故答案为：6．

14．

【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握列表法或画树状图法求概率的方法．

画树状图得到共有种等可能的结果，其中乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的结果有种，用概率公式计算即可．

【详解】解：根据题意，画树状图如下，

共有种等可能的结果，其中乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的结果有种，

乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是，

故答案为：．

15．

【分析】本题考查了统计图的应用，用样本估计总体，根据统计图获取