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专题 三角函数与解三角形 历年高考真题汇编

1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)

A. B.

C. D.1

2.(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)

A.2 B.

C.1 D.

3.(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在是减函数，则a的最大值是(　　)

A. B.

C. D.π

4.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________.

5.(2018·全国Ⅰ卷改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且终边经过点(a，2a)(a≠0)，则cos 2θ＝(　　)

A.－ B.－

C. D.

6. (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)

A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

(2)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)

A.f(x)的一个周期为－2π

B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C.f(x＋π)的一个零点为x＝

D.f(x)在上单调递减

7.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)

A. B.

C.π D.2π

8.（全国卷）定义一种运算＝ad－bc，将函数f(x)＝的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值是(　　)

A. B.

C. D.

9.(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)

A. B.

C. D.

10.(2018·全国Ⅱ卷)在ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)

A.4 B.

C. D.2

11.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝2，求BC.

12.(2019·全国Ⅲ卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A.

(1)求B；

(2)若ABC为锐角三角形，且c＝1，求ABC面积的取值范围.

13. (2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.

(1)求cos 2α的值；

(2)求tan(α－β)的值.

14. (2019浙江)已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B－bcos A＝0.

(1)求角A的大小.

(2)若a＝2，b＝2，求ABC的面积.

15.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在的零点个数为(　　)

A.2 B.3

C.4 D.5

16.(2018·全国Ⅲ卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C＝(　　)

A. B.

C. D.

17..(2019·全国Ⅰ卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)

A.6 B.5

C.4 D.3

18.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.

19.(2019·全国Ⅱ卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________

20. 已知向量a＝，b＝(－sin x，sin x)，f(x)＝a·b.

(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；

(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝1，a＝2，求ABC面积的最大值并说明此时ABC的形状.

21世纪教育网 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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专题 三角函数与解三角形 历年高考真题汇编解析版

1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)

A. B.

C. D.1

解析　由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.

由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.

答案　B

2.(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)

A.2 B.

C.1 D.

解析　由题设知，函数f(x)的最小正周期T＝＝2＝π，解得ω＝2.

答案　A

3.(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在是减函数，则a的最大值是(　　)

A. B.

C. D.π

解析　f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函数y＝cos x在区间上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在上是减函数，所以

解得a≤.

所以0答案　A

4.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________.

解析　f(x)＝sin－3cos x

＝－cos 2x－3cos x

＝－2cos2x－3cos x＋1

＝－2＋，

因为cos x∈，所以当cos x＝1时，f(x)取得最小值，即f(x)min＝－4.

答案　－4

5.(2018·全国Ⅰ卷改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且终边经过点(a，2a)(a≠0)，则cos 2θ＝(　　)

A.－ B.－

C. D.

解析　法一　依题意tan θ＝＝2.

∴cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－.

法二　由θ的终边过点(a，2a)(a≠0)，知cos2θ＝＝.∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.

答案 B

6. (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)

A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

(2)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)

A.f(x)的一个周期为－2π

B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C.f(x＋π)的一个零点为x＝

D.f(x)在上单调递减

解析　(1)易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.

(2)根据函数解析式可知f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为

－2π，A项正确.

当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B项正确.

f(x＋π)＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C项正确；

f(x)在上单调递减，在上单调递增，故D项不正确.

答案　(1)B　(2)D

7.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)

A. B.

C.π D.2π

解析　f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

答案　C

8.（全国卷）定义一种运算＝ad－bc，将函数f(x)＝的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值是(　　)

A. B.

C. D.

解析　f(x)＝2cos x－2sin x＝4cos，

依题意g(x)＝f(x＋φ)＝4cos是偶函数(其中φ>0).∴＋φ＝kπ，k∈Z，则φmin＝π.

答案　C

9.(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)

A. B.

C. D.

解析　由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α.

则2sin α＝cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝，

又α∈，所以sin α＝.

答案　B

10.(2018·全国Ⅱ卷)在ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)

A.4 B.

C. D.2

解析　由题意知cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.在ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32.

所以AB＝4.

答案　A

11.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝2，求BC.

解　(1)在ABD中，由正弦定理得＝，即＝，

所以sin∠ADB＝.

由题设知，0°