概述

牛顿第二运动定律（Newton's second law of motion）表明，物体所受到的外力等于动量对时间的一阶导数(一次微分值)。当物体在运动中质量不变时，牛顿第二定律也可以用质量与加速度的乘积表示。

1687年，英国物理泰斗艾萨克‧牛顿在钜著《自然哲学的数学原理》里，提出了牛顿运动定律，其中有三条定律，分别为牛顿第一定律、牛顿第二定律与牛顿第三定律。牛顿第二定律又称为“加速度定律”。

牛顿第二定律被誉为经典力学的灵魂。在经典力学里，它能够主导千变万化的物体运动与精彩有序的物理现象。牛顿第二定律的用途极为广泛，它可以用来设计平稳地耸立于云端的台北101摩天大厦，也可以用来计算从地球发射火箭登陆月球的运动轨道。

牛顿第二定律是一个涉及到物体运动的理论，根据这定律，任意物体的运动所出现的改变，都是源自于外力的施加于这物体。这理论导致了经典力学的诞生，是科学史的一个里程碑，先前只是描述自然现象的理论不再被采纳，取而代之的是这个创立了一种理性的因果关系架构的新理论。实际而言，经典力学的严格的因果属性，对于西方思想与文明的发展，产生了很大的影响。

牛顿第二运动定律定律方程式

牛顿第二定律表明，施加于物体的外力等于此物体动量的时变率：

其中，P是动量，t是时间。

由于动量等于质量乘以速度，所以，假若质量不变，则可得到加速度形式的牛顿第二定律，假若质量随着时间流易而改变，则该系统为可变质量系统，必须将时变质量纳入考量，更多内容，请参阅可变质量系统。

加速度形式的牛顿第二定律

当运动中的物体质量不变时，牛顿第二定律可以表述为：物体所受到的外力等于质量与加速度的乘积，而加速度与外力同方向。以方程表达，

F=Ma

其中，F是外力，m是质量，a是加速度。

按照第二定律，设定物体的质量不变，则物体的加速度与所受到的外力成正比，设定物体所受到的外力不变，则物体的加速度与质量成反比。

假设施加外力于某物体，则由于该物体的加速度只与外力、质量有关，在任何状况下，质量不变的物体都会表现出同样的加速度：

F=am

理论论述

牛顿论述

牛顿对于动量与冲量彼此之间的关系的作解释：“假设施加于物体的冲量造成了物体的动量改变，则双倍的冲量会造成双倍的动量改变，三倍的冲量会造成三倍的动量改变，不论冲量是全部同时施加，还是一部分一部分慢慢地施加，所造成的动量改变都一样。

动量改变与原先动量之间的关系：这动量改变必定与施加的冲量同方向。假设在冲量施加之前，物体已具有某动量，则这动量改变会与原先动量相加或相减，依它们是同方向还是反方向而定，假设动量改变与原先动量呈某角度，则最终动量是两者按著角度合成的结果。”

牛顿所使用的术语的涵意、他对于第二定律的认知、他想要第二定律如何被众学者认知、以及牛顿表述与现代表述之间的关系，科学历史学者对于这些论题都已经做过广泛地研究与讨论。

进阶论述

任何物理定律都必须具有可证伪性，即必须能够对于物理定律做实验证实是否正确。为了要明确牛顿第二定律是否具有可证伪性，必须对于加速度、力与质量做测量。测量加速度很简单，加速度是速度的时间变率，只要能测得速度改变与时间间隔，则可计算出加速度。

在对于质量与力给出定义后，按照这些定义里的定量描述来测量物体的质量与物体的受力，再加上从观测物体的运动得到的加速度，就可以很容易地检试牛顿第二定律的正确性。

力的定义

很多常用教科书对于力的定义不尽人意。在大卫·哈勒代与罗伯特·瑞思尼克著作的教科书《基础物理》里，力被定义为造成物体加速的作用。类似地，在《大学物理》教科书里，力也被定义为两个物体之间或物体与环境之间的作用。但是，它们都没有对于“作用”给出解释。

古斯塔夫·基尔霍夫首先提议，将力定义为质量与加速度的乘积。按照这提议，第二定律只是一个数学定义式，而不是自然定律。假若第二定律只是一个数学定义式，则它在物理学里毫无用处，因为无法从数学定义式对于大自然给出任何预测。整个经典力学会变成一种公理化理论，所有结论都是源自于这个定义，而不是源自于从做实验推断出的“自然定律”。实际而言，这提议没有将在大自然里各种各样的力，像弹力、引力、电磁力等，纳入考量，它忽略了每一种力的独特性质。

质量定义

虽然质量在物理学教育里占有中心地位，人们并不很清楚质量的概念，很多教科书对于质量的定义也不甚令人满意，它们都有一些重大瑕疵。这些定义所涉及到的困难，大部分出现于将经典描述融入现代描述的后果之中，而且清楚地在相对论、量子色动力学、强相互作用理论等等现代理论里显现出来。

物质数量

有一种可以追溯到中世纪的定义将质量设定为物体内部所含有的物质数量。这也是牛顿在他的巨著《自然哲学的数学原理》里对于质量给出的定义，按照这定义，质量可以从物体的密度与体积乘积求得。德国物理学者恩斯特·马赫对这定义给出严厉批评，他认为这定义触犯了循环推理，因为密度的定义是每单位体积的质量。

从测量的角度来看，牛顿并没有给出任何测量密度的方法，所以，也没有给出测量质量的方法。牛顿不能对于质量与密度同时给出定义，因此，质量并未被严格定义。但是，牛顿的想法并不是这样，他把物体视为由很多微小的基本粒子均匀组成的聚集体，他认为这聚集体的结构是更为基础的概念，在计算物体的质量时，他会数算物体的小粒子数量，这数量乘以每个基本粒子的质量就是物体的质量。因此，只要设定某参考物体S的质量为标准质量，这参考物体S可以是石头、金块或铁块．那么，n个物体S的质量必定是这标准单位质量的n倍。

惯性质量

另一种定义是基于惯性的概念。在这定义里，质量被用来量度物体对于改变它的运动状态的抗拒能力。因此被称为“惯性质量”。然而，不管这定义是如何真确，它并没有给出量度质量的方法，人们无法直接估算物体的质量数值，因此贝语网校，这定义似乎更像是一种形而上学定义。

回溯在经典力学里，假设使用一条先前论述的标准弹簧，施加一个标准单位力于某物体，则可从测量这物体随着时间流易而呈现出的速度，估算出这物体的加速度，标记其为。继续做实验，假设施加两个标准单位力于这物体，则可从测得这物体的加速度为。类似地做实验，施加弹力于这物体，然后测量这物体的加速度，可以得到力与加速度彼此之间的关系式：

其中，K是比例常数。

辨识这比例常数为惯性质量，则可察觉这关系式就是牛顿第二定律的方程。

马赫质量定义

由于上述两种概念性定义的种种缺点，学者们常会使用操作性定义来给出定量描述，这种定义追溯至恩斯特·马赫对于质量定义的原创研究。马赫的定义只使用到运动学概念，完全不需涉及到力的概念。

假设在宇宙里的两个物体A、B离其它物体非常遥远，因此这两个物体可以被视为处于一个孤立系统。从某个惯性系统观察，这两个物体因相互影响而使得他们各自呈现的加速度分别为、。从所有完成的关于这类系统的实验总结，它们的加速度的方向相反，而比率可以用“加速度比率公式”来表达为：

其中，kba是标量常数。

标量常数kba的恒定不变可以被视为力学的一条基础定律，其为从做实验获得的结果。马赫特别为此提出“实验命题”：在实验物理学设定的状况下，两个物体引发对方沿着彼此连线各自呈现相反的加速度方向，而加速度的比率为常数，并且与物体的物理状态无关。

设想另一个物体C，由于物体C与A、C与B彼此之间的相互作用，按照第一实验命题，

从做多个实验获得的另一个重要结果可以用“标量常数公式”来表达为

因此，可以得到关系式：

这关系式显示出，选择物体A为标准物体，那么，每一个其它物体都会伴随着一个常数，任何与该物体相互作用的物体都无法改变这常数。常数kba可以被称为物体B的质量，相对于物体A。由于物体A是参考物体，常数kba可以被简称为物体B的质量mb。这样，关系式可以被改写为“质量-加速度关系式”

这质量定义的适用范围很广泛，例如，当两个物体A、B被连结于一条理想弹簧的两端时，它们彼此之间的相互作用为弹力，先将弹簧压缩，然后放松，从测量它们因此动作而出现的加速度，可以按照加速度比率公式计算出标量常数。再举一个例子，当两个物体A、B在进行开普勒二体运动时，它们彼此之间的相互作用为引力，从测量它们进行轨道运动时的加速度，可以计算出标量常数。对于这些案例，前面列出的加速度比率公式与标量常数公式都成立。这质量定义能够给出一种用来比较质量的方法，其为这样做质量定义的重要目的。

注意到质量-加速度关系式展示出，当两个物体相互作用时，两个粒子的质量与加速度大小的乘积相等，并且这乘积与两个物体的相对位置、相对速度或时间有关。将力定义为质量与加速度大小的乘积：

这就是牛顿第二定律。

将力的定义式代入质量-加速度关系式，就可以得到牛顿第三定律：当两个物体相互作用时，彼此施加于对方的力，其大小相等、方向相反，

实验验证

1983年，莫德采·米尔格若姆提出的修正牛顿动力学理论表明，由于星系自转问题，即被观测到的在星系里恒星的速度大于牛顿力学的预测速度，牛顿万有引力定律或牛顿第二定律可能需要修正。除了暗物质理论以外，修正牛顿动力学理论也可以用来解释星系自转问题。 这理论的适用区域大约在加速度为：

的数量级。为了符合天文物理学数据，这理论将牛顿第二定律修改为：

其中，

(a/ao）是个函数，其符合以下两个条件：

一般而言，在各种物理案例中，很少会遇到这么微小的加速度，然而，假若修正牛顿动力学理论确实被证实，则整个经典力学与广义相对论都需要被修改。因此，验证修正牛顿动力学理论是很重要的实验研究论题。

1986年，使用干涉仪测量摆质量的加速度对于时变电场的响应，物理学者证实，在加速度为

的状况下，牛顿第二定律仍旧有效。2007年，使用扭摆来表现对于时变电场的响应，实验证实，在加速度为

的状况下，牛顿第二定律正确无误。2011年，物理学者做实验测量微波共振器对于引力作用的响应，但并未在加速度为的状况下找到任何偏差。2014年，使用纽秤来量度引力引起的加速度，物理学者在加速度为

的状况下仍未发现任何偏差。