2025郑州二模数学几道经典题目简析

——中档题有点坑，压轴题不太简单

王 桥

这不，前天昨天两晚刚刚直播完毕，今天郑州二模就出来了。啪！啪！啪！——是不是有点打脸？

先看这几天咱们分享的关键词：直角三角形的存在性、分类讨论、求线段、斜化正、最值问题、坐标三角形的面积、坐标转化......撒了这么大一张网，看看都能捞上来哪些小虾米......

咱们就聊几道老王感兴趣的题。

一、先看第10题：

【分析】这道题目应该有点小难度，属于“线圆距离”。

【基本模型】

如图，⊙O上一动点P，⊙O外一条定直线l上一动点Q，当PQ经过圆心O，且PQ⊥l时，PQ最短。

——选自九年级《春季攻势》P237

【解析】老王语录：定点定长的折叠，必有隐形圆

因为CB=2，则点E必在以D为圆心，CB=2为半径的圆上，如图。作CF⊥OA于点F，交⊙C于点E，此时EF最短，则AOE的面积最小；

老王语录：知坐标，求坐标，作双垂

作EM⊥x轴于点M，此时，易知∠FCO=30°，则EM=1，CM=√3，则OM=4-√3，故选C；

【类似题】

——选自《冲刺十招》P199例1

二、再看第15题

【分析】这道题目应该有点小难度，属于“分类讨论”、“手拉手模型”、“构造中位线”

【基本模型1】——手拉手模型之——等腰旋转出全等

如图，若ABC∽ADE，其中AB=AC，AD=AE，则有：

（1）ABD≌ACE；

（2）BD=CE；

（3）∠BPC=∠BAC=∠DAE；

（4）AP平分∠BPE

——详见《冲刺十招》第5招“胸有成竹会‘建模’”

【基本模型2】——构造中位线

如图，若D为ABC中AC边上的中点，求BD，则可倍长AB或倍长AB，求出CE或AF即可。

——详见《冲刺十招》第5招“胸有成竹会‘建模’”

【解析】首先，延长EA到F，使得FA=EA，连接FB，则BF=2AM。

连接FD，则易证DAF为等腰直角三角形。连接BF并延长，交CD于点N，则ABF≌ACD，且BF=CD，BN⊥CD，只需求出CD即可。

当C、D、E三点共线分点共线分两种情况：

①D在CE之间，如图：

②E在D、C之间，如图：

——关于“跟着感觉取特值”，详见《冲刺十招》第1招“绝境逢生用‘特值’”

【类似题】

——选自八年级《沙场秋点兵》

其实，解决这道题目，本质就是“婆罗摩笈多模型”。也用可以从“反向手拉手的反向构造”策略入手（详见“老王的数学”公众号相关文章）。

15题随想：这道题目整体感觉很有河南特色，管他们“套路不套路”，希望大家还是要练会的......其实老王想说的是.......

三、下面看第18题

【基本模型1】一次函数与双曲线相交函数值大小比较

——详见九年级《沙场秋点兵》

——详见《冲刺十招》第5招“胸有成竹会‘建模’”

【基本模型2】斜化正之斜直角放正

——详见《冲刺十招》第6招“曲径通幽会‘转化’”

【简析】（1）m=2，k=6；

（2）根据正比例函数和反比例函数的图象关于原点对称，易得双曲线和直线的另一个交点为（-2，-3），则y1>y2对应的自变量的取值范围为-22；

（3）如图，首先做出正方形OABC，然后构造弦图，作正方形DEFG，易证明ODA≌AEB≌BFC≌CGO，则DA=EB=FC=OG=2，OD=AE=BF=CG=3，∴B（5,1），则点B不在双曲线上。

【老王语录】

1：遇斜直角，放正造弦图

2：知坐标，求坐标，作双垂

【类似题】

——详见《冲刺十招》P128

18题随想：这道题目融合了一次函数、反比例函数的增减性和对称性及正方形等知识，考查了数形结合、方程思想、转化思想、构造法等方面来看出的还是比较成功的。但是老王有点小困惑：为啥第（2）问不让写出理由，第（3）问才让写出理由，难道是为了增加难度？

四、现在看第18题

【基本模型1】——经过对称中心的任意一条直线等分中心对称图形的面积

【基本模型2】一个常见的不等式

——详见九年级《春季攻势》第4讲“不等关系”

【基本策略】——构造函数

——详见《冲刺十招》第2招“无中生有话‘构造’”

【解析】第（1）问比较简单，作矩形的两条对角线，找出交点O，过EO作直线即可；

（2）方法1（构造函数法）：如图，过点E分别作AB、AD的垂线，

方法2（极端化思想）如图，过点O分别作OM⊥AB于M，交FG于P，作ON⊥AD于N，则矩形AMON的面积等于6×12÷4=18为定值。易证明AGE≌OPE，即四边形AMPG的面积=四边形AMPE的面积+AEG的面积=AMO的面积=9为定值，当F和M重合时，G和N重合，FMP的面积最小为0，此时AFG的面积=AMN的面积=9最小；

——关于“极端化思想”，请参考《冲刺十招》第1招“绝境逢生用‘特值’”

19题随想：这道题目感觉有点“冷冷”的。中心对称图形这个性质估计会坑住不少学生，第（2）问这个面积最小值和15题面积最小值遥相呼应......估计中考不会这样“挖坑”吧？

五、最后看第23题

【基本策略】——特殊和一般思想、转化思想、建模思想......

——详见《冲刺十招》第1招“绝境逢生用‘特值’”，《冲刺十招》第6招“曲径通幽需‘转化’”和《冲刺十招》第5招“胸有成竹会‘建模’”

【简析】（1）略

（2）如图，过点P分别作正ABC三条边的平行线IL、GJ、HK，则易证四边形AGPL、四边形BIPH、四边形PJCK是平行四边形，PGH、PIJ、PKL是正三角形，且F、D、E分别为这三个正三角形的中点。设这三个正三角形的边长分别为x、y、z，

最后再分享三种解法：

1、内蒙古姚杰老师：

2、一战成名贺鹏科编辑的解法：

2、胜朝甫老师解法

【类似题】

——选自《冲刺十招》P30页

二模结束了，你考得还好吗？接下来，你还是要继续刷刷刷的刷题吗？

来，让我们一起喊：今年二轮不刷题，要刷就刷冲刺十招！

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第二招：无中生有话“构造”，重点讲述灵活运用方程思想、建模思想、函数思想来解决问题的构造法；

第三招：触类旁通用“类比”，重点讲运用特殊和一般思想以及类比思想解决问题的方法策略；

第四招：面面俱到要“分类”贝语网校，重点讲如何运用分类讨论思想解决数学问题；

第五招：胸有成竹会“建模”，重点讲运用建模思想，并借助已经建立起的最常见的代数解题模型和几何解题模型解题的策略；

第六招：曲径通幽需“转化”，重点讲运用转化化归思想解题；

第七招：比翼双飞看“数形”，重点讲数形结合思想并用之解题；

第八招 逆向思维练“反推”，重点讲分析法和综合法，以及正向和逆向思维；

第九招：搞定“动态”问题，重点讲运用运动变换思想解决动点、动线、动形问题；

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......

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