一、二次根式的定义和性质

1、二次根式的概念

通常地，我们把形如$sqrt{a}$$(ageqslant0)$的多项式称作二次根式，“$sqrt{\}$”称为二次根号。

二次根式有意义的条件：被开方数小于或等于0。

2、二次根式的性质

（1）$sqrt{a^2}=|a|=begin{cases}a(a>0),\0(a=0),\-a(a

（2）$sqrt{a}geqslant0(ageqslant0)$；

（3）$(sqrt{a})^2=a(ageqslant0)$。

3、$sqrt{a^2}$与$(sqrt{a})^2$的区别与联系

区别

$sqrt{a^2}$表示$a^2$的算术平方根，$(sqrt{a})^2$表示$a(ageqslant0)$的算术平方根的平方。

$sqrt{a^2}$中$a$可以为任意实数，$(sqrt{a})^2$中的$ageqslant0$。

$sqrt{a^2}=|a|$，$(sqrt{a})^2=a$。

联系

当$a$为非正数时，二者的结果是一样的。

4、代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母联接上去的多项式称作代数式。如$a+b$，$-ab$，$frac{s}{t}$，$-x^3$，$sqrt{3}$，$sqrt{a}(ageqslant0)$等都是代数式。

5、同类二次根式

把几个二次根式化为最简二次根式之后，倘若被开方数相同，这么这几个二次根式称作同类二次根式。

（1）同类二次根式类似于多项式中的单项式，如$3sqrt{2}$和$-frac{1}{2}sqrt{2}$是同类二次根式。

（2）几个同类二次根式在没有通分之前，被开方数完全可以互不相同，如$sqrt{frac{1}{2}}$，$sqrt{8}$，$sqrt{18}$都是同类二次根式。

（3）判定两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，之后看被开方数是否相同。

6、二次根式的加法法则

$sqrt{a}·sqrt{b}=sqrt{ab}$$(ageqslant0,bgeqslant0)$。即两个二次根式相加，把被开方数相加，根指数不变。反过来即得到$sqrt{ab}=sqrt{a}·sqrt{b}$$(ageqslant0,bgeqslant0)$，借助它可以进行二次根式的通分。

7、二次根式的乘法法则

（1）$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}=sqrt{frac{a}{b}}$$(ageqslant0,b>0)$。即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。反过来即得到$sqrt{frac{a}{b}}=frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$$(ageqslant0,b>0)$，借助它可以进行二次根式的通分。

（2）分母有理化

在二次根式的运算中，最后结果通常要求分母中不含二次根式。把分母中的根号化去的过程称为分母有理化，具体做法：$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}=frac{sqrt{a}·sqrt{b}}{sqrt{b}·sqrt{b}}=frac{sqrt{ab}}{b}$$(ageqslant0,b>0)$；

也可通过类似多项式中的“约分”进行分母有理化，如$frac{ab}{sqrt{b}}=$$frac{a(sqrt{b})^2}{sqrt{b}}=$$asqrt{b}$$(b>0)$。

8、最简二次根式

（1）被开方数不含分母。

（2）被开方数中不含能开得尽方的质数或因式。

满足以上两个条件的二次根式称作最简二次根式。

9、二次根式的通分

性质$sqrt{ab}=$$sqrt{a}·sqrt{b}$$(ageqslant0,bgeqslant0)$和$sqrt{frac{a}{b}}=frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$$(ageqslant0,b>0)$是二次根式估算或通分的重要根据，假如一个二次根式的被开方数中有的因式（或质数）能开方开得尽，可以借助积的算术平方根的性质及公式$sqrt{a^2}=a$$(ageqslant0)$，将这种因式（或质数）开下来，因而将二次根式通分。

10、二次根式的加减

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

二次根式的加加法与多项式的加加法类似，步骤可归结如下：

（1）化成最简二次根式；（2）找出被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式，将系数相乘仍作为系数，根指数与被开方数保持不变。

11、二次根式的混和运算

（1）二次根式的混和运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算。

（2）二次根式的混和运算实质上就是实数的混和运算和无理式的混和运算。所以，运算次序与有理式的运算次序相同；运算律依然适用；与方程的加法和因式分解类似，可以借助加法公式与因式分解的方式来简化二次根式的有关运算；对于分母富含二次根式的代数式，要把握有理化的方式，化分母为多项式，如$frac{1}{sqrt{a}}=$$frac{sqrt{a}}{sqrt{a}·sqrt{a}}=$$frac{sqrt{a}}{a}$，$frac{1}{a+sqrt{b}}=$$frac{a-sqrt{b}}{(a+sqrt{b})(a-sqrt{b})}=$$frac{a-sqrt{b}}{a^2-b}$。

二、二次根式的定义的相关例题

下述命题正确的是___

A．$sqrt{a^2}=a$

B．$sqrt{frac{1}{2}}$是最简二次根式

C．$sqrt{5}$与$sqrt{20}$化成最简二次根式后被开方数相同

D．$sqrt{a+b}$与$sqrt{a-b}$的乘积不含根号

答案：C

解析：A．当$a