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四川省成都市2024年中考数学试卷

阅卷人

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）

得分

1．?5的绝对值是（）

A．5 B．?5 C．15 D．

2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（）

A． B． C． D．

3．下列计算正确的是（）

A．(3x)2=3x2 B．3x+3y=6xy C．

4．在平面直角坐标系xOy中，点P(1,

A．(?1,?4) B．(?1,4) C．

5．为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（）

A．53 B．55 C．58 D．64

6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）

A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠ACB=∠ACD

7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出12钱，会多出4钱；每人出13钱，又差了3钱.问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为

A．y=12x+4,y=13x+3 B．y=12

8．如图，在ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F.若CD=3，

A．∠ABE=∠CBE B．BC=5 C．DE=DF D．BEEF

阅卷人

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

得分

9．若m，n为实数，且(m+4)2+n?5=0，则

10．分式方程1x?2=3

11．如图，在扇形AOB中，OA=6，∠AOB=120°，则AB的长为.

第11题图第13题图

12．盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，则xy的值为

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3,0)，B(0,2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则

阅卷人

三、解答题（本大题共5个小题，共48分）

得分

14．（1）计算：16+2sin60°?(π?2024)0+|3?2|

15．2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景.在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条.现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表.

游园线路

人数

国风古韵观赏线

44

世界公园打卡线

亲子互动慢游线

48

园艺小清新线

根据图表信息，解答下列问题：

（1）本次调查的员工共有人，表中x的值为：

（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；

（3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数.

16．中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺.在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD.已知∠ACB=73.4°，∠ADB=26.6°，求春分和秋分时日影长度.（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.

17．如图，在RtABC中，∠C=90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF.

（1）求证：BC?DF=BF?CE；

（2）若∠A=∠CBF，tan∠BFC=5，AF=45，求CF的长和

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=?x+m与直线y=2x相交于点A(2,a)，与x轴交于点B(b,0)，点

（1）求a，b，m的值；

（2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值；

（3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称.若有且只有一点C，使得ABD与ABE相似，求k的值.

阅卷人

四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

得分

19．如图，ABC≌CDE，若∠D=35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数为.

第19题图第22题图

20．若m，n是一元二次方程x2?5x+2=0的两个实数根，则m+(n?2)

21．在综合实践活动中，数学兴趣小组对1～n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现：当n=2时，只有{1,2}一种取法，即k=1；当n=3时，有{1,3}和{2,3}两种取法，即k=2；当n=4时，可得k=4；…….若n=6，则k的值为；若

22．如图，在RtABC中，∠C=90°，AD是ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE.若BE=BC，CD=2，则BD=.

23．在平面直角坐标系xOy中，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)是二次函数y=?x2+4x?1图象上三点.若0x1

阅卷人

五、解答题（本大题共3个小题，共30分）

得分

24．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500kg进行销售，其中A种水果收购单价10元/kg，B种水果收购单价15元/kg.

（1）求A，B两种水果各购进多少千克；

（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价.

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y=ax2?2ax?3a(a0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C

（1）求线段AB的长；

（2）当a=1时，若ACD的面积与ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；

（3）延长CD交x轴于点E，当AD=DE时，将ADB沿DE方向平移得到AEB.将抛物线L平移得到抛物线L，使得点A，B

26．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°.

（1）【初步感知】

如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究BDCE

（2）【深入探究】

如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长.

（3）【拓展延伸】

在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由.

答案解析部分

1．【答案】A

【解析】【解答】解：|-5|=-(-5)=5.

故答案为：A.

【分析】根据一个负数的绝对值等于其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数可求解.

2．【答案】A

【解析】【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形.

故答案为：A.

【分析】主视图，就是从正面看得到的正投影，弄清楚小正方形的层数、列数及各层各列小正方形的个数即可.

3．【答案】D

【解析】【解答】解：A、(3x)2=9x2，故此选项计算错误，不符合题意；

B、3x与3y不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；

C、(x+y)2=x2+2xy+y2，故此选项计算错误，不符合题意；

D、(x+2)(x-2)=x2-4，故此选项计算正确，符合题意.

故答案为：D.

【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断C选项；根据平方差公式，两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差，可判断D选项.

4．【答案】B

【解析】【解答】解：点P（1，-4）关于原点对称的点的坐标是（-1，4）.

故答案为：B.

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，可得答案.

5．【答案】B

【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排列后为50、51、55、55、61、64，

∴这组数据的中位数为（55+55）÷2=55.

故答案为：B.

【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.

6．【答案】C

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且对角线AC与BD相交于点O，

∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，

故A、B、D选项都不一定正确，只有C选项一定正确.

故答案为：C.

【分析】矩形的性质：矩形的对边相等且平行，对角线相等且互相平分，四个角都是直角，据此逐一判断得出答案.

7．【答案】B

【解析】【解答】解：设人数为x，琎价为y钱，

由题意得y=

故答案为：B.

【分析】由“每人出12钱，会多出4钱”可列方程12x-4=y；由“每人出1

8．【答案】D

【解析】【解答】解：根据作图过程可知BE是∠ABC的角平分线，

∴∠ABE=∠CBE，故A选项正确，把不符合题意；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD=3，AB∥CD，

∴∠CBE=∠AEB，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE=3，

∴BC=AD=AE+ED=5，故B选项正确，不符合题意；

∵AD∥BC，

∴∠FED=∠CBE，

∵AB∥CD，

∴∠ABE=∠F，

∴∠F=∠FED，

∴DE=DF，故C选项正确，符合题意；

∵AB∥CD，

∴ABE∽DFE，

∴AEDE

故答案为：D.

【分析】根据作图过程可知BE是∠ABC的角平分线，据此可判断A选项；由平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，AB=CD=3，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等及等量代换得∠ABE=∠AEB，由等角对等边得AB=AE=3，则BC=AD=AE+ED=5，据此可判断B选项；由平行线的性质及等量代换可推出∠F=∠FED，由等角对等边得DE=DF，据此可判断C选项；由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得ABE∽DFE，由相似三角形对应边成比例可判断D选项.

9．【答案】1

【解析】【解答】解：∵(m+4)2+n?5=0，m+42≥0，n-5≥0，

∴m+4=0，n-5=0，

∴m=-4，n=5，

故答案为：1.

【分析】由偶数次幂及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出m、n得值，进而再代入待求式子计算可得答案.

10．【答案】3

【解析】【解答】解：去分母得：x=3（x﹣2），

去括号得：x=3x﹣6，

解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

11．【答案】4π

【解析】【解答】解：lAB?=nπr180=120π×6180=4π.

故答案为：4π.

【分析】直接根据弧长计算公式“l=n

12．【答案】3

【解析】【解答】解：由题意可得xx+y=38，

∴8x=3x+3y，

故答案为：35

【分析】根据概率公式可得盒子中黑棋的数量比上盒子中棋子的总数量=从盒中随机取出一枚棋子是黑棋的概率，列出方程，再求解即可.

13．【答案】5

【解析】【解答】解：如图，作点A关于直线l的对称点A点，连接OA交l于点P，再连接PA，

∴PA=PA，

∴PO+PA=PO+PA=OA，即当点P运动到P点位置时，OP+PA的值最小为OA

根据两点之间线段最短可得OP+PA的最小值为OA，

∵过点B(0，2)作y轴的垂线l，点A(3，0)与点A关于直线l对称，

∴A(3，4)，

∴OA=32+4

【分析】作点A关于直线l的对称点A点，连接OA交l于点P，再连接PA，由轴对称的性质可得PO+PA=PO+PA=OA，即当点P运动到P点位置时，OP+PA的值最小，根据轴对称点的坐标特点找出点A的坐标，进而根据平面直角坐标系中任意两点间的距离公式计算出OA即可.

14．【答案】（1）解：原式=4+2×32-1+2-3

（2）解：由①得x≥-2，

由②得x＜9，

∴该不等式组的解集为-2≤x＜9.

【解析】【分析】（1）先计算算术平方根、0指数幂及绝对值，同时代入特殊锐角三角函数值，再计算乘法，最后合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可；

（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.

15．【答案】（1）160；40

（2）解：在扇形统计图中，“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为：360×44

（3）解：该单位选择“园艺小清新线”的员工人数为：2200×160-44-40-48

【解析】【解答】解：（1）本次调查的员工人数为48÷30％=160（人）；

选择“世界公园打卡线”的人数x=160×90360=40（人）；

故答案为：160；40；

【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用本次调查选择“亲子互动慢游线”的人数除以其所占的百分比可求出本次调查的员工总数；再用本次调查的员工总数乘以选择“世界公园打卡线”的人数所占的百分比即可求出选择“世界公园打卡线”的人数x的值；

（2）用360°×选择“国风古韵观赏线”的人数所占的百分比即可估算出在扇形统计图中，“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；

16．【答案】解：在RtABC中，∠ABC=90°，∠ACB=73.4°，

∴tan∠ACB=tan73.4°=ABBC，

∵AB=8尺，tan73.4°≈3.35，

∴BC=8tan73.4°≈83.35≈2,4（尺）；

在RtABD中，∠ABC=90°，∠ADB=26.6°，

∴tan

【解析】【分析】在RtABC中，由∠ACB的正切函数可求出BC的长，在RtABD中，由∠ADB得正切函数可求出BD的长，由题意可知，春分和秋分时日影顶端为CD的中点，从而用BC+1

17．【答案】（1）证明：∵BD是圆O的直径，∠C=90°，

∴∠DFB=∠C=90°，

∵弧BF=弧BF，

∴∠BDF=∠BEF，

∴BDF∽BEC，

∴DFCE=BFBC，

（2）解：∵∠A=∠CBF，∠ACB=∠BCF，

∴BCF∽ACB，

∴ACBC=BCCF=tan∠BFC=5，

∴AF+CFBC=BCCF=5，

∴BC=5CF，AF+CF=5BC=5×5CF=5CF，

∴AF=4CF，

又∵AF=45，

∴CF=5；

∴BC=5，

在RtBCF中，∠C=90°，

∴BF=BC2+CF2=30，

由（1）知BDF∽BEC，

∴∠CBE=∠FBD，

∴∠CBE-∠EBF=∠FBD-∠EBF，

∴∠CBF=∠EBD，

又∵∠A=∠CBF，

∴∠A=∠DBF，

∴AE=BE，

∵AF=45，CF=5，

∴AC=AF+CF=55，

设CE=x，则AE=BE=55-x，

在RtBCE中，∵BC

【解析】【分析】（1）由直径所对圆周角等90°得∠DFB=∠C=90°，由同弧所对圆周角相等得∠BDF=∠BEF，从而根据有两组角对应相等得两个三角形相似，得BDF∽BEC，根据相似三角形对应边成比例得DFCE=BFBC，最后将比例式改写成等积式即可；

（2）由有两组角对应相等得两个三角形相似，得BCF∽ACB，由相似三角形对应边成比例并结合正切函数的定义可得

18．【答案】（1）解：将点A（2，a）代入y=2x，得2×2=a，

∴a=4，

∴A（2，4）；

将点A（2，4）代入y=-x+m得-2+m=4，

∴m=6，

∴一次函数的解析式为y=-x+6；

令y=-x+6中的y=0得-x+6=0，

解得x=6，

∴B（6，0），

∴b=6；

（2）解：∵点C在反比例函数y=kx(k0)图象上，

∴设Ct，kt，

由（1）知A（2，4），B（6，0），O（0，0），

分类讨论：

①当AC、BO为平行四边形的对角线时，AC与BO的中点重合，

∴2+t2=6+02kt+42=0+02，

解得t=4k=-16符合题意，

∴C（4，-4）；

②当CB、AO为平行四边形的对角线时，CB与AO的中点重合，

∴6+t2

（3）解：如图，

设直线AC的解析式为y=px+q，把A（2，4）代入得2p+q=4，

∴q=4-2p，

∴直线AC的解析式为y=px+4-2p，

令y=px+4-2p中的y=0，得x=2p-4p，

∴D2p-4p，0，

∵点E与点D关于y轴对称，

∴E4-2pp，0，

∵B（6，0），

∴BE=6-4-2pp=8p-4p，BD=6-2p-4p=4p+4p，

∵ABD与ABE相似，

∴点E只能在B左侧，

∴∠ABE=∠DBA，

∴ABD与ABE相似，只需要BEAB=ABBD，即BE·BD=AB2，

∵A（2，4），B（6，0），

∴AB2=(2-6)2+(4-0)2=32，

∴8p-4p×4p+4p=32，

解得p=1，

经检验，p=1满足题意；

【解析】【分析】（1）将点A（2，a）代入正比例函数y=2x，可求出a的值，从而得到点A的坐标；将点A的坐标代入一次函数y=-x+m可算出m的值，从而得到一次函数的解析式；令一次函数解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点B的坐标，从而此题得解；

（2）根据反比例函数图象上点的坐标特点设Ct，kt，分类讨论：①当AC、BO为平行四边形的对角线时，AC与BO的中点重合，②当CB、AO为平行四边形的对角线时，CB与AO的中点重合，③当CO、AB为平行四边形的对角线时，CO与AB的中点重合，分别结合中点坐标公式建立方程组，求解并检验即可得出符合题意得点C的坐标及k的值；

（3）利用待定系数法结合点A的坐标求出直线AC的解析式为y=px+4-2p，令直线AC解析式中y=0算出对应自变量x的值可得点D的坐标，进而根据关于y轴对称的点的坐标特点可得点E的坐标，根据平面内两点间的距离公式表示出BE、BD；由ABD与ABE相似，得点E只能在B左侧，故∠ABE=∠DBA，则ABD与ABE相似，只需要BEAB=

19．【答案】100°

【解析】【解答】解：∵ABC≌CDE，∠ACB=45°，

∴∠ACB=∠E=45°，

∴∠DCE=180°-∠D-∠E=100°.

故答案为：100°.

【分析】由全等三角形的对应角相等得∠ACB=∠E=45°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠DCE的度数.

20．【答案】7

【解析】【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根，

∴n2-5n+2=0，m+n=5，

∴n2-5n=-2，m=5-n

∴m+(n-2)2=m+n2-4n+4=5-n+n2-4n+4=n2-5n+9=-2+9=7.

故答案为：7.

【分析】由一元二次方程根的定义及根与系数的关系得n2-5n=-2，m=5-n，然后将待求式子利用完全平方公式展开代入m=5-n，合并同类项后再整体代入n2-5n=-2，计算有理数的加法即可得出答案.

21．【答案】9；144

【解析】【解答】解：当n=2时，从1，2这两个自然数中任取两数之和大于2的取法有{1，2}，一种取法，∴k=1；

当n=3时，从1，2，3这三个自然数中任取两数之和大于3的取法有{3，2}，{3，1}，两种取法，∴k=2；

当n=4时，从1，2，3，4这两个自然数中任取两数之和大于4的取法有{4，3}，{4，2}，{4，1}，{3，2}，四种取法，∴k=4=3+1；

当n=5时，从1，2，3，4，5这五个自然数中任取两数之和大于5的取法有{5，4}，{5，3}，{5，2}，{5，1}，{4，3}，{4，2}，七种取法，∴k=6=4+2；

当n=6时，从1，2，3，4，5，6这六个自然数中任取两数之和大于6的取法有{6，5}，{6，4}，{6，3}，{6，2}，{6，1}，{5，4}，{5，3}，{5，2}，{4，3}，九种取法，∴k=9=5+3+1；

……

当n是偶数时，k就等于自然数1~n中奇数的和，当n是奇数时，k就等于自然数1~n中偶数的和，

∴当n=24时，k=1+3+5+……+21+23=1+23×12

故答案为：9；144.

【分析】根据题干的阅读材料，用列举法列举出当n=6时，从1，2，3，4，5，6中取两个数的和大于6的所有情况，即可得出第一空k的值；然后观察n=2、n=3，n=4时，k的值，就会发现规律：当n是偶数时，k就等于自然数1~n中奇数的和，当n是奇数时，k就等于自然数1~n中偶数的和，据此即可算出n=24时，k的值.

22．【答案】17

【解析】【解答】解：如图，连接EC，过点E作EF⊥CD于点F，

设BD=x，则BC=BD+CD=x+2，

∵CE=ED，